Математика пугает кажущейся недоступностью — символы и формулы воспринимаются как чужеродный код, лишенный смысла. В своей книге «Математика для тех, кто боится математики: еще одна книга с дурацкими рисунками» преподаватель математики Бен Орлин предлагает принципиально иной подход к пониманию предмета. Автор убежден: математика — это не просто набор абстрактных правил, а особый язык, возможно, самый удивительный из всех существующих. За непонятными на первый взгляд символами скрывается целая вселенная логики и красоты, где каждое уравнение рассказывает свою историю.
Орлин сравнивает изучение математики с освоением иностранного языка: сначала символы кажутся бессмысленными закорючками, но постепенно обретают смысл и открывают новые горизонты. Главная задача преподавателя — стать проводником в этом удивительном мире, показать ученикам красоту математической логики и увлечь их процессом познания.
В публикуемом фрагменте книги (печатается с разрешения издательства «Альпина Паблишер») автор рассказывает, как поэтично и нестандартно можно объяснить такой раздел математики, как счет.
Несколько лет назад во время похода по горному Уэльсу я наткнулся на табличку с валлийскими числами от 1 до 20. Так как я обожаю таблички, числа и валлийцев, я тут же погрузился в чтение.
Один: un.
Два: dau.
Три: tri.
Никаких неожиданностей, пока я не добрался до 16: un ar bymtheg. Это число, похоже, было составлено из un (1) и pymtheg (15). На мой англоязычный слух это звучало необычно и очаровательно, и я был рад обнаружить, что 17 следует этой же закономерности (dau ar bymtheg, «2 плюс 15»), как и 19 (pedwar ar bymtheg, «4 плюс 15»). Казалось бы, нетрудно угадать, как будет 18: tri ar bymtheg, 3 плюс 15. Так?
А вот и нет. Валлийский язык отказывался следовать моей приземленной логике. «Восемнадцать» это deunaw: буквально «две девятки». Посреди туманов Сноудонии мое сердце замирало от восхищения валлийским народом и числом, которому он дал столь прекрасное название.
Назвать что-либо — значит выделить это, придать ему индивидуальность. Поэтому мы даем имена детям, клички животным, названия песням, городам и групповым чатам — но мы не даем их, скажем, отдельным скрепкам. Мне хочется отличать своего ребенка от вашего, но эта потребность не столь насущна в случае с канцтоварами.
Без названия число не может стать настоящим числом. Оно будет как скрепка — неотличимым от других. Легко ли отличить •••••••••••••••••• от ••••••••••••••••• или •••••••••••••••••••? Математика начинается только тогда, когда каждое число получает имя, а с ним и индивидуальность. В Книге Бытия Адам дает имена тварям земным — скажем, от трубкозуба (aardvark) до зебры (zebra). В XVIII веке то же самое проделал ботаник Карл Линней, от Orycteropus afer до Equus quagga. То, что Адам и Карл сделали для форм жизни, нам придется повторить для количеств. Процесс называния чисел по порядку называется счетом.
Число •••••••••••••••••• называется «восемнадцать», то есть буквально «восемь на десяти». Это точное описание, однако •••••••••••••••••• можно также описать как «трижды шесть», или «полторы дюжины», или «девять пар». Зачем говорить «восемнадцать», когда существуют более симпатичные альтернативы? К чему неуклюжая, кособокая конструкция «восемь на десяти» вместо наглядной симметрии deunaw?
Этот вопрос влечет за собой более глубокий. Чего именно мы хотим от системы счета?
Рассказ Хорхе Луиса Борхеса «Фунес, чудо памяти» повествует о мальчике, который упал с лошади и потерял сознание. Очнувшись, Фунес обнаруживает себя чего-то лишенным и чем-то наделенным: его тело парализовано, но его ум полон образов. Все, что он видит, он навсегда запоминает в мельчайших подробностях. И вот, лежа в кровати, Фунес изобретает собственную систему счета. Каждое число он связывает с определенным образом: «сера», «трефи», «кит», «газ», «котел», «Наполеон». В его системе каждое название великолепно и неповторимо.
Но, как тщетно пытается объяснить Фунесу рассказчик, такая математика — вообще не математика.
Наш способ называния чисел, известный как «десятичная система счисления», основан на том, что все разбивается на десятки. Сотня — это десять десятков, тысяча — это десять десятков десятков; миллион — это десять десятков десятков десятков десятков десятков. Когда все числа составляются из одних и тех же стандартных частей, их легко сравнивать и проводить расчеты: например, нетрудно понять, что 125 на единицу больше, чем 124, и нетрудно сложить эти два числа (100 + 100, 20 + 20 и 4 + 5), чтобы получить сумму 249.
С числами Фунеса дело обстоит не так. Как определить, например, что за «Максимо Перес» идет «железная дорога» или что их сумма равна «треснувшему красному кирпичу»? Выражаясь словами рассказчика, «этот набор бессвязных слов как раз нечто совершенно противоположное системе нумерации».
Вот почему мы отказываемся от поэтичного deunaw в пользу прозаичного «восемнадцать». Чтобы дать названия бесконечному множеству чисел, нам нужна четкая система, и наша система основана на десятках.
В самих десятках изначально нет ничего особенного. Просто так уж вышло, что мы происходим от обезьян с десятью пальцами на верхних конечностях. Если бы мы считали восьмерками, как могли бы предпочесть осьминоги или пауки, то обозначали бы «восемнадцать» как 22: две восьмерки плюс два в остатке.
А если бы мы считали семерками, мы обозначили бы то же число как 24: две семерки и четыре в остатке.
Или, если бы мы считали девятками, у нас получилось бы 20: два раза по 9 и ноль в остатке.
Это ведь и есть deunaw, правда? Да, но это обойдется недешево. Чтобы перекрестить 18 в 20, нам придется отринуть наш язык десятков (10), сотен (10 × 10) и тысяч (10 × 10 × 10). Вместо них нам придется членить числа по 9, 81 (9 × 9) и 729 (9 × 9 × 9). Это решение изменило бы всю нашу систему именования чисел.
700 (семь групп по 10 × 10) потеряет свое звонкое круглое название. Оно будет уныло зваться 857—восемь групп по 9 × 9, пять групп по 9 и семь в остатке.
Между тем непримечательное 729 (семь групп по 10 × 10, две группы по 10 и девять в остатке) обернется прекрасным круглым числом 1000 — одной идеальной группой 9 × 9 × 9.
Сами числа не изменились — изменились только их названия. Однако названия формируют наш мир. В мире deunaw одноклассники праздновали бы 27-ю годовщину со дня выпуска (а не 30-ю, как у нас). Города устраивали бы пышные парады в честь своего 81-летия (столетие в девятеричной системе). Водители останавливались бы на обочине и фотографировали одометр, на котором набежало 59049 км (цифры читались бы как 100000).
Числа значат для нас так много: десятый день рождения, полувековой юбилей, двухсотлетие памятного события. Но что именно нам дорого — сами числа или только названия, которые мы им дали?
В цикле романов Урсулы Ле Гуин о Земноморье фигурирует мистический язык истинных имен. Вещь и ее имя на нем каким-то образом тождественны, так что, зная истинное имя человека, можно обрести власть над его жизнью и смертью. Порой я думаю в том же ключе о математике: я записываю название 18, за ним — название 61, а затем скромная капелька магии дает их сумму, 79. Как волшебник Земноморья, я могу «вызвать на самом деле вещь, которой не существует, назвав ее истинным именем».
Увы, Земноморье лишь плод фантазии. В реальном мире нам приходится выбирать между полуправдами. С одной стороны, язык упорядоченных и систематических имен; с другой — язык имен ярких и запоминающихся. С одной стороны, унылая асимметрия «восемнадцати», а с другой — валлийское совершенство deunaw.